自定义函数的二次反向传播#
创建日期：2021年8月13日 | 最后更新：2021年8月13日 | 最后验证：2024年11月5日
有时我们需要对反向传播图进行两次反向传播，例如在计算高阶梯度时。然而，支持二次反向传播需要对 autograd 有深入的理解，并需格外小心。那些仅支持一次反向传播的函数并不一定具备支持二次反向传播的能力。在本教程中，我们将展示如何编写支持二次反向传播的自定义 autograd 函数，并指出一些需要注意的事项。
在编写用于二次反向传播的自定义 autograd 函数时，了解以下几点至关重要：自定义函数中的哪些操作会被 autograd 记录，哪些不会，以及最重要的是，save_for_backward 是如何与这些机制协同工作的。
自定义函数会通过以下两种方式隐式影响梯度模式
在前向传播期间，autograd 不会记录前向函数内任何操作的计算图。当前向传播完成后，自定义函数的 backward 函数会成为每个前向输出的 grad_fn。
在反向传播期间，如果指定了 create_graph，autograd 会记录用于计算反向传播的计算图。
接下来，为了理解 save_for_backward 如何与上述机制交互，我们可以探讨几个示例。
保存输入#
考虑这个简单的平方函数。它保存了一个输入张量以供反向传播使用。当 autograd 能够记录反向传播中的操作时，二次反向传播会自动生效，因此当我们为反向传播保存输入时，通常无需担心，因为如果输入是任何需要梯度的张量的函数，该输入本身应该具有 grad_fn。这使得梯度能够被正确传播。
import torch
class Square(torch.autograd.Function):
@staticmethod
def forward(ctx, x):
# Because we are saving one of the inputs use `save_for_backward`
# Save non-tensors and non-inputs/non-outputs directly on ctx
ctx.save_for_backward(x)
return x**2
@staticmethod
def backward(ctx, grad_out):
# A function support double backward automatically if autograd
# is able to record the computations performed in backward
x, = ctx.saved_tensors
return grad_out * 2 * x
# Use double precision because finite differencing method magnifies errors
x = torch.rand(3, 3, requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(Square.apply, x)
# Use gradcheck to verify second-order derivatives
torch.autograd.gradgradcheck(Square.apply, x)
我们可以使用 torchviz 可视化计算图，看看为什么这行得通。
import torchviz
x = torch.tensor(1., requires_grad=True).clone()
out = Square.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), {"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})
我们可以看到，关于 x 的梯度本身就是 x 的一个函数（dout/dx = 2x），并且该函数的计算图已经被正确构建。
保存输出#
前一个示例的一个微小变体是保存输出而不是输入。其机制是相似的，因为输出也关联着一个 grad_fn。
class Exp(torch.autograd.Function):
# Simple case where everything goes well
@staticmethod
def forward(ctx, x):
# This time we save the output
result = torch.exp(x)
# Note that we should use `save_for_backward` here when
# the tensor saved is an ouptut (or an input).
ctx.save_for_backward(result)
return result
@staticmethod
def backward(ctx, grad_out):
result, = ctx.saved_tensors
return result * grad_out
x = torch.tensor(1., requires_grad=True, dtype=torch.double).clone()
# Validate our gradients using gradcheck
torch.autograd.gradcheck(Exp.apply, x)
torch.autograd.gradgradcheck(Exp.apply, x)
使用 torchviz 可视化计算图。
out = Exp.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), {"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})
保存中间结果#
一个更棘手的情况是我们需要保存中间结果。我们通过实现以下公式来演示这种情况：
由于 sinh 的导数是 cosh，在反向传播计算中复用前向传播中的两个中间结果 exp(x) 和 exp(-x) 会很有用。
然而，中间结果不应直接保存并在反向传播中使用。因为前向传播是在 no-grad 模式下执行的，如果前向传播的中间结果被用于在反向传播中计算梯度，那么梯度的反向传播图将不会包含计算该中间结果的操作。这会导致梯度计算错误。
class Sinh(torch.autograd.Function):
@staticmethod
def forward(ctx, x):
expx = torch.exp(x)
expnegx = torch.exp(-x)
ctx.save_for_backward(expx, expnegx)
# In order to be able to save the intermediate results, a trick is to
# include them as our outputs, so that the backward graph is constructed
return (expx - expnegx) / 2, expx, expnegx
@staticmethod
def backward(ctx, grad_out, _grad_out_exp, _grad_out_negexp):
expx, expnegx = ctx.saved_tensors
grad_input = grad_out * (expx + expnegx) / 2
# We cannot skip accumulating these even though we won't use the outputs
# directly. They will be used later in the second backward.
grad_input += _grad_out_exp * expx
grad_input -= _grad_out_negexp * expnegx
return grad_input
def sinh(x):
# Create a wrapper that only returns the first output
return Sinh.apply(x)[0]
x = torch.rand(3, 3, requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(sinh, x)
torch.autograd.gradgradcheck(sinh, x)
使用 torchviz 可视化计算图。
out = sinh(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})
保存中间结果：错误的做法#
现在我们展示当我们没有将中间结果作为输出返回时会发生什么：grad_x 甚至不会有一个反向传播图，因为它纯粹是 exp 和 expnegx 的函数，而这些函数不需要梯度。
class SinhBad(torch.autograd.Function):
# This is an example of what NOT to do!
@staticmethod
def forward(ctx, x):
expx = torch.exp(x)
expnegx = torch.exp(-x)
ctx.expx = expx
ctx.expnegx = expnegx
return (expx - expnegx) / 2
@staticmethod
def backward(ctx, grad_out):
expx = ctx.expx
expnegx = ctx.expnegx
grad_input = grad_out * (expx + expnegx) / 2
return grad_input
使用 torchviz 可视化计算图。注意 grad_x 不在图中！
out = SinhBad.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})
当反向传播未被追踪时#
最后，让我们考虑一个 autograd 可能根本无法追踪函数反向传播的情况。我们可以想象 cube_backward 是一个可能需要非 PyTorch 库（如 SciPy 或 NumPy）或者是用 C++ 扩展编写的函数。此处演示的变通方法是创建另一个自定义函数 CubeBackward，并在其中手动指定 cube_backward 的反向传播！
def cube_forward(x):
return x**3
def cube_backward(grad_out, x):
return grad_out * 3 * x**2
def cube_backward_backward(grad_out, sav_grad_out, x):
return grad_out * sav_grad_out * 6 * x
def cube_backward_backward_grad_out(grad_out, x):
return grad_out * 3 * x**2
class Cube(torch.autograd.Function):
@staticmethod
def forward(ctx, x):
ctx.save_for_backward(x)
return cube_forward(x)
@staticmethod
def backward(ctx, grad_out):
x, = ctx.saved_tensors
return CubeBackward.apply(grad_out, x)
class CubeBackward(torch.autograd.Function):
@staticmethod
def forward(ctx, grad_out, x):
ctx.save_for_backward(x, grad_out)
return cube_backward(grad_out, x)
@staticmethod
def backward(ctx, grad_out):
x, sav_grad_out = ctx.saved_tensors
dx = cube_backward_backward(grad_out, sav_grad_out, x)
dgrad_out = cube_backward_backward_grad_out(grad_out, x)
return dgrad_out, dx
x = torch.tensor(2., requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(Cube.apply, x)
torch.autograd.gradgradcheck(Cube.apply, x)
使用 torchviz 可视化计算图。
out = Cube.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})
总之，自定义函数是否支持二次反向传播，仅仅取决于反向传播过程是否能被 autograd 追踪。在前两个示例中，我们展示了二次反向传播可以直接生效的情况。在第三和第四个示例中，我们演示了如何让原本无法被追踪的反向传播函数实现可追踪的技术。