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雅可比矩阵、Hessian 矩阵、hvp、vhp 及更多：组合函数变换

创建日期：2023 年 3 月 15 日 | 最后更新：2023 年 4 月 18 日 | 最后验证：2024 年 11 月 5 日

计算雅可比矩阵或 Hessian 矩阵在许多非传统深度学习模型中都很有用。使用 PyTorch 的常规自动微分 API（Tensor.backward()、torch.autograd.grad）高效计算这些量是困难的（或令人烦恼的）。PyTorch 受 JAX 启发的 函数变换 API 提供了高效计算各种高阶自动微分量的方法。

注意

本教程需要 PyTorch 2.0.0 或更高版本。

计算雅可比矩阵

import torch
import torch.nn.functional as F
from functools import partial
_ = torch.manual_seed(0)

让我们从一个想要计算雅可比矩阵的函数开始。这是一个带有非线性激活的简单线性函数。

def predict(weight, bias, x):
    return F.linear(x, weight, bias).tanh()

让我们添加一些虚拟数据：一个权重、一个偏差和一个特征向量 x。

D = 16
weight = torch.randn(D, D)
bias = torch.randn(D)
x = torch.randn(D)  # feature vector

让我们将 predict 视为一个将输入 x 从 \(R^D \to R^D\) 映射的函数。PyTorch Autograd 计算向量-雅可比积。为了计算这个 \(R^D \to R^D\) 函数的完整雅可比矩阵，我们必须每次使用不同的单位向量逐行计算。

def compute_jac(xp):
    jacobian_rows = [torch.autograd.grad(predict(weight, bias, xp), xp, vec)[0]
                     for vec in unit_vectors]
    return torch.stack(jacobian_rows)

xp = x.clone().requires_grad_()
unit_vectors = torch.eye(D)

jacobian = compute_jac(xp)

print(jacobian.shape)
print(jacobian[0])  # show first row

torch.Size([16, 16])
tensor([-0.5956, -0.6096, -0.1326, -0.2295,  0.4490,  0.3661, -0.1672, -1.1190,
         0.1705, -0.6683,  0.1851,  0.1630,  0.0634,  0.6547,  0.5908, -0.1308])

我们不需要逐行计算雅可比矩阵，而是可以使用 PyTorch 的 torch.vmap 函数变换来消除 for 循环并向量化计算。我们不能直接将 vmap 应用于 torch.autograd.grad；相反，PyTorch 提供了一个 torch.func.vjp 变换，它可以与 torch.vmap 组合使用

from torch.func import vmap, vjp

_, vjp_fn = vjp(partial(predict, weight, bias), x)

ft_jacobian, = vmap(vjp_fn)(unit_vectors)

# let's confirm both methods compute the same result
assert torch.allclose(ft_jacobian, jacobian)

在后续教程中，反向模式 AD 和 vmap 的组合将为我们提供逐样本梯度。在本教程中，反向模式 AD 和 vmap 的组合为我们提供了雅可比矩阵计算！vmap 和自动微分变换的各种组合可以为我们提供不同的有趣量。

PyTorch 提供了 torch.func.jacrev 作为方便函数，它执行 vmap-vjp 组合来计算雅可比矩阵。jacrev 接受一个 argnums 参数，该参数表示我们希望计算雅可比矩阵的参数。

from torch.func import jacrev

ft_jacobian = jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)

# Confirm by running the following:
assert torch.allclose(ft_jacobian, jacobian)

让我们比较两种计算雅可比矩阵方法的性能。函数变换版本快得多（输出越多，速度越快）。

通常，我们期望通过 vmap 进行向量化有助于消除开销并更好地利用您的硬件。

vmap 通过将外部循环下推到函数的原始操作中来实现这种魔力，从而获得更好的性能。

让我们快速编写一个函数来评估性能并处理微秒和毫秒的测量

def get_perf(first, first_descriptor, second, second_descriptor):
    """takes torch.benchmark objects and compares delta of second vs first."""
    faster = second.times[0]
    slower = first.times[0]
    gain = (slower-faster)/slower
    if gain < 0: gain *=-1
    final_gain = gain*100
    print(f" Performance delta: {final_gain:.4f} percent improvement with {second_descriptor} ")

然后运行性能比较

from torch.utils.benchmark import Timer

without_vmap = Timer(stmt="compute_jac(xp)", globals=globals())
with_vmap = Timer(stmt="jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)", globals=globals())

no_vmap_timer = without_vmap.timeit(500)
with_vmap_timer = with_vmap.timeit(500)

print(no_vmap_timer)
print(with_vmap_timer)

<torch.utils.benchmark.utils.common.Measurement object at 0x7f28d8c22c80>
compute_jac(xp)
  1.46 ms
  1 measurement, 500 runs , 1 thread
<torch.utils.benchmark.utils.common.Measurement object at 0x7f29091ef220>
jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)
  394.55 us
  1 measurement, 500 runs , 1 thread

让我们使用我们的 get_perf 函数对上述进行相对性能比较

get_perf(no_vmap_timer, "without vmap",  with_vmap_timer, "vmap")

Performance delta: 73.0641 percent improvement with vmap

此外，将问题反过来，计算模型参数（权重、偏差）而不是输入的雅可比矩阵也相当容易。

# note the change in input via ``argnums`` parameters of 0,1 to map to weight and bias
ft_jac_weight, ft_jac_bias = jacrev(predict, argnums=(0, 1))(weight, bias, x)

反向模式雅可比矩阵（jacrev）与正向模式雅可比矩阵（jacfwd）

我们提供两种 API 来计算雅可比矩阵：jacrev 和 jacfwd

• jacrev 使用反向模式 AD。如上所示，它是我们的 vjp 和 vmap 变换的组合。

• jacfwd 使用前向模式 AD。它被实现为我们的 jvp 和 vmap 变换的组合。

jacfwd 和 jacrev 可以相互替代，但它们具有不同的性能特征。

一般来说，如果您正在计算 \(R^N \to R^M\) 函数的雅可比矩阵，并且输出多于输入（例如，\(M > N\)），则首选 jacfwd，否则使用 jacrev。此规则存在例外，但其不严格的论证如下

在反向模式 AD 中，我们逐行计算雅可比矩阵，而在前向模式 AD（计算雅可比-向量积）中，我们逐列计算。雅可比矩阵有 M 行 N 列，因此如果它在某个方向上更长或更宽，我们可能更喜欢处理较少行或列的方法。

from torch.func import jacrev, jacfwd

首先，让我们用比输出更多的输入来测试性能

Din = 32
Dout = 2048
weight = torch.randn(Dout, Din)

bias = torch.randn(Dout)
x = torch.randn(Din)

# remember the general rule about taller vs wider... here we have a taller matrix:
print(weight.shape)

using_fwd = Timer(stmt="jacfwd(predict, argnums=2)(weight, bias, x)", globals=globals())
using_bwd = Timer(stmt="jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)", globals=globals())

jacfwd_timing = using_fwd.timeit(500)
jacrev_timing = using_bwd.timeit(500)

print(f'jacfwd time: {jacfwd_timing}')
print(f'jacrev time: {jacrev_timing}')

torch.Size([2048, 32])
jacfwd time: <torch.utils.benchmark.utils.common.Measurement object at 0x7f2908ea69b0>
jacfwd(predict, argnums=2)(weight, bias, x)
  760.51 us
  1 measurement, 500 runs , 1 thread
jacrev time: <torch.utils.benchmark.utils.common.Measurement object at 0x7f28d8a9b640>
jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)
  8.57 ms
  1 measurement, 500 runs , 1 thread

然后进行相对基准测试

get_perf(jacfwd_timing, "jacfwd", jacrev_timing, "jacrev", );

Performance delta: 1026.8862 percent improvement with jacrev

现在反过来——输出 (M) 多于输入 (N)

Din = 2048
Dout = 32
weight = torch.randn(Dout, Din)
bias = torch.randn(Dout)
x = torch.randn(Din)

using_fwd = Timer(stmt="jacfwd(predict, argnums=2)(weight, bias, x)", globals=globals())
using_bwd = Timer(stmt="jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)", globals=globals())

jacfwd_timing = using_fwd.timeit(500)
jacrev_timing = using_bwd.timeit(500)

print(f'jacfwd time: {jacfwd_timing}')
print(f'jacrev time: {jacrev_timing}')

jacfwd time: <torch.utils.benchmark.utils.common.Measurement object at 0x7f2908eaba60>
jacfwd(predict, argnums=2)(weight, bias, x)
  6.98 ms
  1 measurement, 500 runs , 1 thread
jacrev time: <torch.utils.benchmark.utils.common.Measurement object at 0x7f2908e87d00>
jacrev(predict, argnums=2)(weight, bias, x)
  475.82 us
  1 measurement, 500 runs , 1 thread

以及相对性能比较

get_perf(jacrev_timing, "jacrev", jacfwd_timing, "jacfwd")

Performance delta: 1365.9834 percent improvement with jacfwd

使用 functorch.hessian 计算 Hessian 矩阵

我们提供了一个方便的 API 来计算 Hessian 矩阵：torch.func.hessiani。Hessian 矩阵是雅可比矩阵的雅可比矩阵（或偏导数的偏导数，即二阶导数）。

这表明可以通过组合 functorch 雅可比变换来计算 Hessian 矩阵。实际上，在底层，hessian(f) 仅仅是 jacfwd(jacrev(f))。

注意：为了提高性能：根据您的模型，您可能还希望使用 jacfwd(jacfwd(f)) 或 jacrev(jacrev(f)) 来计算 Hessian 矩阵，利用上面关于更宽或更高矩阵的经验法则。

from torch.func import hessian

# lets reduce the size in order not to overwhelm Colab. Hessians require
# significant memory:
Din = 512
Dout = 32
weight = torch.randn(Dout, Din)
bias = torch.randn(Dout)
x = torch.randn(Din)

hess_api = hessian(predict, argnums=2)(weight, bias, x)
hess_fwdfwd = jacfwd(jacfwd(predict, argnums=2), argnums=2)(weight, bias, x)
hess_revrev = jacrev(jacrev(predict, argnums=2), argnums=2)(weight, bias, x)

让我们验证一下，无论使用 Hessian API 还是使用 jacfwd(jacfwd())，我们都得到相同的结果。

torch.allclose(hess_api, hess_fwdfwd)

True

批量雅可比和批量 Hessian

在上面的例子中，我们一直在使用单个特征向量进行操作。在某些情况下，您可能希望计算一批输出相对于一批输入的雅可比矩阵。也就是说，给定形状为 (B, N) 的一批输入和一个从 \(R^N \to R^M\) 的函数，我们希望得到形状为 (B, M, N) 的雅可比矩阵。

最简单的方法是使用 vmap

batch_size = 64
Din = 31
Dout = 33

weight = torch.randn(Dout, Din)
print(f"weight shape = {weight.shape}")

bias = torch.randn(Dout)

x = torch.randn(batch_size, Din)

compute_batch_jacobian = vmap(jacrev(predict, argnums=2), in_dims=(None, None, 0))
batch_jacobian0 = compute_batch_jacobian(weight, bias, x)

weight shape = torch.Size([33, 31])

如果您有一个从 (B, N) -> (B, M) 的函数，并且确定每个输入都产生独立的输出，那么有时也可以在不使用 vmap 的情况下通过对输出求和然后计算该函数的雅可比矩阵来实现。

def predict_with_output_summed(weight, bias, x):
    return predict(weight, bias, x).sum(0)

batch_jacobian1 = jacrev(predict_with_output_summed, argnums=2)(weight, bias, x).movedim(1, 0)
assert torch.allclose(batch_jacobian0, batch_jacobian1)

如果您有一个从 \(R^N \to R^M\) 但输入是批量的函数，您可以将 vmap 与 jacrev 组合以计算批量雅可比矩阵。

最后，批量 Hessian 也可以类似地计算。最简单的方法是使用 vmap 进行批量 Hessian 计算，但在某些情况下，求和技巧也适用。

compute_batch_hessian = vmap(hessian(predict, argnums=2), in_dims=(None, None, 0))

batch_hess = compute_batch_hessian(weight, bias, x)
batch_hess.shape

torch.Size([64, 33, 31, 31])

计算 Hessian-向量积

计算 Hessian-向量积 (hvp) 的朴素方法是具体化整个 Hessian 矩阵并与向量进行点积。我们可以做得更好：事实证明，我们不需要具体化整个 Hessian 矩阵来执行此操作。我们将介绍两种（多种）不同的策略来计算 Hessian-向量积： - 将反向模式 AD 与反向模式 AD 组合 - 将反向模式 AD 与前向模式 AD 组合

将反向模式 AD 与前向模式 AD 组合（而不是反向模式与反向模式）通常是计算 hvp 更节省内存的方法，因为前向模式 AD 不需要构建自动微分图并保存中间结果以进行反向传播

from torch.func import jvp, grad, vjp

def hvp(f, primals, tangents):
  return jvp(grad(f), primals, tangents)[1]

以下是一些使用示例。

def f(x):
  return x.sin().sum()

x = torch.randn(2048)
tangent = torch.randn(2048)

result = hvp(f, (x,), (tangent,))

如果 PyTorch 正向 AD 不支持您的操作，那么我们可以将反向模式 AD 与反向模式 AD 组合使用。

def hvp_revrev(f, primals, tangents):
  _, vjp_fn = vjp(grad(f), *primals)
  return vjp_fn(*tangents)

result_hvp_revrev = hvp_revrev(f, (x,), (tangent,))
assert torch.allclose(result, result_hvp_revrev[0])