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intermediate/parametrizations

注意

跳转到结尾 以下载完整的示例代码。

参数化教程#

创建于：2021年4月19日 | 最后更新：2024年2月5日 | 最后验证：2024年11月5日

作者: Mario Lezcano

正则化深度学习模型是一项出乎意料的挑战性任务。经典的惩罚方法在应用于深度模型时，由于被优化函数的复杂性，往往效果不佳。当处理条件不良的模型时，这个问题尤其突出。例如，在长序列上训练的 RNN 和 GAN。近年来，已经提出了许多技术来正则化这些模型并提高其收敛性。在循环模型上，已经提出控制 RNN 的循环核的奇异值，使其条件良好。例如，可以通过使循环核正交来实现。正则化循环模型的另一种方法是通过“权重归一化”。这种方法提出将参数的学习与其范数的学习解耦。为此，参数除以其Frobenius 范数，并学习一个单独的参数来编码其范数。一种类似的正则化方法在 GAN 中提出了，称为“谱归一化”。这种方法通过将其参数除以其谱范数（而不是 Frobenius 范数）来控制网络的 Lipschitz 常数。

所有这些方法都有一个共同的模式：它们都在使用参数之前以适当的方式转换参数。在第一种情况下，它们通过使用将矩阵映射到正交矩阵的函数使其正交。在权重和谱归一化的例子中，它们将原始参数除以其范数。

更一般地说，所有这些例子都使用一个函数来为参数添加额外的结构。换句话说，它们使用一个函数来约束参数。

在本教程中，您将学习如何实现和使用此模式来约束您的模型。这样做就像编写您自己的 nn.Module 一样简单。

要求：torch>=1.9.0

手动实现参数化#

假设我们想要一个具有对称权重的方形线性层，即具有权重 X，使得 X = Xᵀ。一种方法是将矩阵的上三角部分复制到其下三角部分

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.utils.parametrize as parametrize

def symmetric(X):
    return X.triu() + X.triu(1).transpose(-1, -2)

X = torch.rand(3, 3)
A = symmetric(X)
assert torch.allclose(A, A.T)  # A is symmetric
print(A)                       # Quick visual check

tensor([[0.3944, 0.1211, 0.7930],
        [0.1211, 0.1336, 0.9657],
        [0.7930, 0.9657, 0.6558]])

然后，我们可以使用这个想法来实现一个具有对称权重的线性层

class LinearSymmetric(nn.Module):
    def __init__(self, n_features):
        super().__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(n_features, n_features))

    def forward(self, x):
        A = symmetric(self.weight)
        return x @ A

然后可以使用该层作为常规线性层

layer = LinearSymmetric(3)
out = layer(torch.rand(8, 3))

虽然这种实现是正确的且自包含的，但它存在一些问题

  1. 它重新实现了该层。我们必须将线性层实现为 x @ A。这对于线性层来说不是什么大问题，但想象一下必须重新实现 CNN 或 Transformer…

  2. 它没有将层和参数化分开。如果参数化更困难，我们将不得不为我们想要使用它的每个层重写其代码。

  3. 它每次我们使用该层时都会重新计算参数化。如果我们在前向传递期间多次使用该层（例如 RNN 的循环核），它将每次调用该层时都计算相同的 A。

参数化的介绍#

参数化可以解决所有这些问题以及其他问题。

让我们从使用 torch.nn.utils.parametrize 重新实现上面的代码开始。我们所要做的就是将参数化编写为常规的 nn.Module

class Symmetric(nn.Module):
    def forward(self, X):
        return X.triu() + X.triu(1).transpose(-1, -2)

这就是我们所需要做的。一旦我们有了这个，我们就可以通过以下方式将任何常规层转换为对称层

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Symmetric())

ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Symmetric()
    )
  )
)

现在，线性层的矩阵是对称的

A = layer.weight
assert torch.allclose(A, A.T)  # A is symmetric
print(A)                       # Quick visual check

tensor([[-0.1546, -0.5445,  0.0524],
        [-0.5445,  0.2259,  0.0396],
        [ 0.0524,  0.0396, -0.2775]], grad_fn=<AddBackward0>)

我们可以对任何其他层做同样的事情。例如，我们可以创建一个具有 斜对称 核的 CNN。我们使用类似的参数化，将带有符号反转的上三角部分复制到下三角部分

class Skew(nn.Module):
    def forward(self, X):
        A = X.triu(1)
        return A - A.transpose(-1, -2)


cnn = nn.Conv2d(in_channels=5, out_channels=8, kernel_size=3)
parametrize.register_parametrization(cnn, "weight", Skew())
# Print a few kernels
print(cnn.weight[0, 1])
print(cnn.weight[2, 2])

tensor([[ 0.0000, -0.0862, -0.1236],
        [ 0.0862,  0.0000,  0.0795],
        [ 0.1236, -0.0795,  0.0000]], grad_fn=<SelectBackward0>)
tensor([[ 0.0000,  0.0835, -0.0038],
        [-0.0835,  0.0000,  0.0125],
        [ 0.0038, -0.0125,  0.0000]], grad_fn=<SelectBackward0>)

检查参数化模块#

当模块被参数化时，我们发现该模块发生了三个变化

  1. model.weight 现在是一个属性

  2. 它有一个新的 module.parametrizations 属性

  3. 未参数化的权重已移动到 module.parametrizations.weight.original


在参数化 weight 之后，layer.weight 变成了一个 Python 属性。每当我们请求 layer.weight 时，此属性都会计算 parametrization(weight)，就像我们在 LinearSymmetric 的实现中一样。

注册的参数化存储在模块内的 parametrizations 属性下。

layer = nn.Linear(3, 3)
print(f"Unparametrized:\n{layer}")
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Symmetric())
print(f"\nParametrized:\n{layer}")

Unparametrized:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Symmetric()
    )
  )
)

这个 parametrizations 属性是一个 nn.ModuleDict，可以像这样访问它

print(layer.parametrizations)
print(layer.parametrizations.weight)

ModuleDict(
  (weight): ParametrizationList(
    (0): Symmetric()
  )
)
ParametrizationList(
  (0): Symmetric()
)

这个 nn.ModuleDict 的每个元素都是一个 ParametrizationList，它的行为类似于一个 nn.Sequential。此列表将允许我们在一个权重上连接参数化。由于这是一个列表，我们可以通过索引来访问参数化。我们的 Symmetric 参数化就在这里

print(layer.parametrizations.weight[0])

Symmetric()

我们注意到的另一件事是，如果我们打印参数，我们会看到参数 weight 已经被移动

print(dict(layer.named_parameters()))

{'bias': Parameter containing:
tensor([ 0.1864, -0.4995,  0.5193], requires_grad=True), 'parametrizations.weight.original': Parameter containing:
tensor([[ 0.2804, -0.4409, -0.3254],
        [-0.3282, -0.4690,  0.2588],
        [-0.1279,  0.1331, -0.2381]], requires_grad=True)}

它现在位于 layer.parametrizations.weight.original 下

print(layer.parametrizations.weight.original)

Parameter containing:
tensor([[ 0.2804, -0.4409, -0.3254],
        [-0.3282, -0.4690,  0.2588],
        [-0.1279,  0.1331, -0.2381]], requires_grad=True)

除了这三个小变化之外，参数化与我们的手动实现完全相同

symmetric = Symmetric()
weight_orig = layer.parametrizations.weight.original
print(torch.dist(layer.weight, symmetric(weight_orig)))

tensor(0., grad_fn=<DistBackward0>)

参数化是一等公民#

由于 layer.parametrizations 是一个 nn.ModuleList，这意味着参数化被正确地注册为原始模块的子模块。因此，将参数注册到模块的相同规则适用于注册参数化。例如，如果参数化具有参数，则这些参数将在调用 model = model.cuda() 时从 CPU 移动到 CUDA。

缓存参数化的值#

参数化通过上下文管理器 parametrize.cached() 具有内置的缓存系统

class NoisyParametrization(nn.Module):
    def forward(self, X):
        print("Computing the Parametrization")
        return X

layer = nn.Linear(4, 4)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", NoisyParametrization())
print("Here, layer.weight is recomputed every time we call it")
foo = layer.weight + layer.weight.T
bar = layer.weight.sum()
with parametrize.cached():
    print("Here, it is computed just the first time layer.weight is called")
    foo = layer.weight + layer.weight.T
    bar = layer.weight.sum()

Computing the Parametrization
Here, layer.weight is recomputed every time we call it
Computing the Parametrization
Computing the Parametrization
Computing the Parametrization
Here, it is computed just the first time layer.weight is called
Computing the Parametrization

连接参数化#

连接两个参数化就像在同一个张量上注册它们一样简单。我们可以使用它来从更简单的参数化创建更复杂的参数化。例如，Cayley 映射 将斜对称矩阵映射到具有正行列式的正交矩阵。我们可以连接 Skew 和实现 Cayley 映射的参数化，以获得具有正交权重的层

class CayleyMap(nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.register_buffer("Id", torch.eye(n))

    def forward(self, X):
        # (I + X)(I - X)^{-1}
        return torch.linalg.solve(self.Id - X, self.Id + X)

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", CayleyMap(3))
X = layer.weight
print(torch.dist(X.T @ X, torch.eye(3)))  # X is orthogonal

tensor(1.5342e-07, grad_fn=<DistBackward0>)

这也可以用于修剪参数化模块，或重用参数化。例如，矩阵指数将对称矩阵映射到对称正定 (SPD) 矩阵，但矩阵指数也将斜对称矩阵映射到正交矩阵。利用这两种事实，我们可以利用之前的参数化

class MatrixExponential(nn.Module):
    def forward(self, X):
        return torch.matrix_exp(X)

layer_orthogonal = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", MatrixExponential())
X = layer_orthogonal.weight
print(torch.dist(X.T @ X, torch.eye(3)))         # X is orthogonal

layer_spd = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_spd, "weight", Symmetric())
parametrize.register_parametrization(layer_spd, "weight", MatrixExponential())
X = layer_spd.weight
print(torch.dist(X, X.T))                        # X is symmetric
print((torch.linalg.eigvalsh(X) > 0.).all())  # X is positive definite

tensor(1.3554e-06, grad_fn=<DistBackward0>)
tensor(4.3444e-08, grad_fn=<DistBackward0>)
tensor(True)

初始化参数化#

参数化具有初始化它们的机制。如果我们在签名中实现一个方法 right_inverse

def right_inverse(self, X: Tensor) -> Tensor

它将在分配给参数化张量时使用。

让我们升级我们的 Skew 类的实现以支持这一点

class Skew(nn.Module):
    def forward(self, X):
        A = X.triu(1)
        return A - A.transpose(-1, -2)

    def right_inverse(self, A):
        # We assume that A is skew-symmetric
        # We take the upper-triangular elements, as these are those used in the forward
        return A.triu(1)

现在，我们可以初始化一个使用 Skew 参数化的层

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
X = torch.rand(3, 3)
X = X - X.T                             # X is now skew-symmetric
layer.weight = X                        # Initialize layer.weight to be X
print(torch.dist(layer.weight, X))      # layer.weight == X

tensor(0., grad_fn=<DistBackward0>)

这个 right_inverse 在我们连接参数化时按预期工作。为了看到这一点，让我们升级 Cayley 参数化以也支持初始化

class CayleyMap(nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.register_buffer("Id", torch.eye(n))

    def forward(self, X):
        # Assume X skew-symmetric
        # (I + X)(I - X)^{-1}
        return torch.linalg.solve(self.Id - X, self.Id + X)

    def right_inverse(self, A):
        # Assume A orthogonal
        # See https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform#Matrix_map
        # (A - I)(A + I)^{-1}
        return torch.linalg.solve(A + self.Id, self.Id - A)

layer_orthogonal = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", CayleyMap(3))
# Sample an orthogonal matrix with positive determinant
X = torch.empty(3, 3)
nn.init.orthogonal_(X)
if X.det() < 0.:
    X[0].neg_()
layer_orthogonal.weight = X
print(torch.dist(layer_orthogonal.weight, X))  # layer_orthogonal.weight == X

tensor(1.6783, grad_fn=<DistBackward0>)

此初始化步骤可以更简洁地写成

layer_orthogonal.weight = nn.init.orthogonal_(layer_orthogonal.weight)

这个方法的名字来源于这样一个事实：我们通常期望 forward(right_inverse(X)) == X。 这是一种直接的方式来重述，在使用值 X 初始化后，前向传播应该返回 X 这个值。 实际上，这个约束并没有被严格执行。 事实上，有时放松这种关系可能是有意义的。 例如，考虑以下随机剪枝方法的实现

class PruningParametrization(nn.Module):
    def __init__(self, X, p_drop=0.2):
        super().__init__()
        # sample zeros with probability p_drop
        mask = torch.full_like(X, 1.0 - p_drop)
        self.mask = torch.bernoulli(mask)

    def forward(self, X):
        return X * self.mask

    def right_inverse(self, A):
        return A

在这种情况下，对于每个矩阵 A，forward(right_inverse(A)) == A 并不成立。 只有当矩阵 A 中的零与掩码中的零位置相同时，才成立。 即使这样，如果我们为一个剪枝的参数分配一个张量，那么这个张量实际上会被剪枝，这并不令人惊讶

layer = nn.Linear(3, 4)
X = torch.rand_like(layer.weight)
print(f"Initialization matrix:\n{X}")
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", PruningParametrization(layer.weight))
layer.weight = X
print(f"\nInitialized weight:\n{layer.weight}")

Initialization matrix:
tensor([[0.0614, 0.4429, 0.5514],
        [0.1315, 0.0943, 0.4835],
        [0.8216, 0.2664, 0.3423],
        [0.3151, 0.5483, 0.9409]])

Initialized weight:
tensor([[0.0000, 0.4429, 0.5514],
        [0.0000, 0.0943, 0.4835],
        [0.8216, 0.0000, 0.3423],
        [0.0000, 0.5483, 0.9409]], grad_fn=<MulBackward0>)

移除参数化#

我们可以使用 parametrize.remove_parametrizations() 从一个模块的参数或缓冲区中移除所有参数化

layer = nn.Linear(3, 3)
print("Before:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
print("\nParametrized:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.remove_parametrizations(layer, "weight")
print("\nAfter. Weight has skew-symmetric values but it is unconstrained:")
print(layer)
print(layer.weight)

Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[-0.5528, -0.3848, -0.4679],
        [ 0.0162, -0.2881,  0.3187],
        [-0.3259,  0.4648, -0.4866]], requires_grad=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Skew()
    )
  )
)
tensor([[ 0.0000, -0.3848, -0.4679],
        [ 0.3848,  0.0000,  0.3187],
        [ 0.4679, -0.3187,  0.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

After. Weight has skew-symmetric values but it is unconstrained:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0000, -0.3848, -0.4679],
        [ 0.3848,  0.0000,  0.3187],
        [ 0.4679, -0.3187,  0.0000]], requires_grad=True)

在移除参数化时，我们可以选择保留原始参数（即 layer.parametriations.weight.original 中的参数），而不是其参数化版本，方法是将标志 leave_parametrized=False 设置为 False

layer = nn.Linear(3, 3)
print("Before:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
print("\nParametrized:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.remove_parametrizations(layer, "weight", leave_parametrized=False)
print("\nAfter. Same as Before:")
print(layer)
print(layer.weight)

Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[-0.4798,  0.4491,  0.1758],
        [ 0.3779,  0.1590, -0.1091],
        [ 0.0178,  0.4139,  0.4745]], requires_grad=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Skew()
    )
  )
)
tensor([[ 0.0000,  0.4491,  0.1758],
        [-0.4491,  0.0000, -0.1091],
        [-0.1758,  0.1091,  0.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

After. Same as Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0000,  0.4491,  0.1758],
        [ 0.0000,  0.0000, -0.1091],
        [ 0.0000,  0.0000,  0.0000]], requires_grad=True)

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