torch.gradient#

torch.gradient(input, *, spacing=1, dim=None, edge_order=1) → List of Tensors#

使用二阶精度中心差分法和一阶或二阶的边界估计，来估算函数 $g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 。

梯度的计算是基于采样点进行的。默认情况下，当未指定 spacing 时，采样点完全由 input 决定，并且输入坐标到输出的映射与张量索引到值的映射相同。例如，对于一个三维 input，所描述的函数为 $g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ ，并且 $g(1, 2, 3)\ == input[1, 2, 3]$ 。

当指定 spacing 时，它会修改 input 和输入坐标之间的关系。这将在下面的“关键字参数”部分详细说明。

梯度的计算方法是独立估算 $g$ 的每个偏导数。如果 $g$ 属于 $C^3$ (即具有至少 3 个连续导数)，则此估算准确。通过提供更接近的采样点可以改进估算。数学上，每个内部点的偏导数使用带有余项的泰勒定理进行估算。令 $x$ 为一个内部点，其左侧和右侧的相邻点分别为 $x-h_l$ 和 $x+h_r$ ，那么 $f(x+h_r)$ 和 $f(x-h_l)$ 可以使用以下公式估算：

\begin{aligned} f(x+h_r) = f(x) + h_r f'(x) + {h_r}^2 \frac{f''(x)}{2} + {h_r}^3 \frac{f'''(\xi_1)}{6}, \xi_1 \in (x, x+h_r) \\ f(x-h_l) = f(x) - h_l f'(x) + {h_l}^2 \frac{f''(x)}{2} - {h_l}^3 \frac{f'''(\xi_2)}{6}, \xi_2 \in (x, x-h_l) \\ \end{aligned}

利用 $f \in C^3$ 这一事实，并求解线性方程组，我们得到：

f'(x) \approx \frac{ {h_l}^2 f(x+h_r) - {h_r}^2 f(x-h_l) + ({h_r}^2-{h_l}^2 ) f(x) }{ {h_r} {h_l}^2 + {h_r}^2 {h_l} }

注意

我们以同样的方式估算复数域函数 $g : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}$ 的梯度。

边界点处每个偏导数的值计算方式不同。请参见下面的 edge_order。

参数

input (Tensor) – 代表函数值的张量

关键字参数

spacing (scalar, list of scalar, list of Tensor, optional) – spacing 用于修改 input 张量的索引与采样坐标之间的关系。如果 spacing 是一个标量，则索引乘以该标量以产生坐标。例如，如果 spacing=2，则索引 (1, 2, 3) 变为坐标 (2, 4, 6)。如果 spacing 是一个标量列表，则将相应的索引相乘。例如，如果 spacing=(2, -1, 3)，则索引 (1, 2, 3) 变为坐标 (2, -2, 9)。最后，如果 spacing 是一个一维张量列表，则每个张量指定对应维度的坐标。例如，如果索引是 (1, 2, 3) 并且张量是 (t0, t1, t2)，则坐标为 (t0[1], t1[2], t2[3])。
dim (int, list of int, optional) – 近似梯度的维度或维度。默认情况下，计算每个维度的偏导数。请注意，当指定 dim 时，spacing 参数的元素必须与指定的 dim 相对应。
edge_order (int, optional) – 1 或 2，分别用于边界（“edge”）值的一阶或二阶估算。请注意，当指定 edge_order 时，input 的每个维度大小应至少为 edge_order+1。

示例

>>> # Estimates the gradient of f(x)=x^2 at points [-2, -1, 2, 4]
>>> coordinates = (torch.tensor([-2., -1., 1., 4.]),)
>>> values = torch.tensor([4., 1., 1., 16.], )
>>> torch.gradient(values, spacing = coordinates)
(tensor([-3., -2., 2., 5.]),)

>>> # Estimates the gradient of the R^2 -> R function whose samples are
>>> # described by the tensor t. Implicit coordinates are [0, 1] for the outermost
>>> # dimension and [0, 1, 2, 3] for the innermost dimension, and function estimates
>>> # partial derivative for both dimensions.
>>> t = torch.tensor([[1, 2, 4, 8], [10, 20, 40, 80]])
>>> torch.gradient(t)
(tensor([[ 9., 18., 36., 72.],
         [ 9., 18., 36., 72.]]),
 tensor([[ 1.0000, 1.5000, 3.0000, 4.0000],
         [10.0000, 15.0000, 30.0000, 40.0000]]))

>>> # A scalar value for spacing modifies the relationship between tensor indices
>>> # and input coordinates by multiplying the indices to find the
>>> # coordinates. For example, below the indices of the innermost
>>> # 0, 1, 2, 3 translate to coordinates of [0, 2, 4, 6], and the indices of
>>> # the outermost dimension 0, 1 translate to coordinates of [0, 2].
>>> torch.gradient(t, spacing = 2.0) # dim = None (implicitly [0, 1])
(tensor([[ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000],
          [ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000]]),
 tensor([[ 0.5000, 0.7500, 1.5000, 2.0000],
          [ 5.0000, 7.5000, 15.0000, 20.0000]]))
>>> # doubling the spacing between samples halves the estimated partial gradients.

>>>
>>> # Estimates only the partial derivative for dimension 1
>>> torch.gradient(t, dim = 1) # spacing = None (implicitly 1.)
(tensor([[ 1.0000, 1.5000, 3.0000, 4.0000],
         [10.0000, 15.0000, 30.0000, 40.0000]]),)

>>> # When spacing is a list of scalars, the relationship between the tensor
>>> # indices and input coordinates changes based on dimension.
>>> # For example, below, the indices of the innermost dimension 0, 1, 2, 3 translate
>>> # to coordinates of [0, 3, 6, 9], and the indices of the outermost dimension
>>> # 0, 1 translate to coordinates of [0, 2].
>>> torch.gradient(t, spacing = [3., 2.])
(tensor([[ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000],
         [ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000]]),
 tensor([[ 0.3333, 0.5000, 1.0000, 1.3333],
         [ 3.3333, 5.0000, 10.0000, 13.3333]]))

>>> # The following example is a replication of the previous one with explicit
>>> # coordinates.
>>> coords = (torch.tensor([0, 2]), torch.tensor([0, 3, 6, 9]))
>>> torch.gradient(t, spacing = coords)
(tensor([[ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000],
         [ 4.5000, 9.0000, 18.0000, 36.0000]]),
 tensor([[ 0.3333, 0.5000, 1.0000, 1.3333],
         [ 3.3333, 5.0000, 10.0000, 13.3333]]))

torch.gradient#

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