torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

计算方阵的特征值分解（如果存在）。

令 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，方阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的**特征值分解**（如果存在）定义为

$$A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}$$

此分解存在当且仅当 $A$ 是 可对角化的。当其所有特征值都不同时，这种情况成立。

支持浮点 (float)、双精度浮点 (double)、复数浮点 (cfloat) 和复数双精度浮点 (cdouble) 数据类型。还支持矩阵批处理，如果 `A` 是一个矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

返回的特征值不保证按任何特定顺序排列。

注意

实数矩阵的特征值和特征向量可能是复数。

注意

当输入在 CUDA 设备上时，此函数会使该设备与 CPU 同步。

警告

此函数假定 A 是 可对角化的（例如，当所有特征值都不同时）。如果它不可对角化，则返回的特征值是正确的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$.

警告

返回的特征向量被归一化为范数 1。即便如此，矩阵的特征向量也不是唯一的，也不是关于 A 连续的。由于这种非唯一性，不同的硬件和软件可能计算出不同的特征向量。

这种非唯一性是由一个事实引起的：将特征向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 会产生另一组有效的矩阵特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为该量不是明确定义的。在计算此函数的梯度时会检查这一点。因此，当输入在 CUDA 设备上时，此函数梯度的计算会使该设备与 CPU 同步。

警告

使用 eigenvectors 张量计算的梯度仅在 A 具有不同特征值时才为有限值。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近于零，则梯度在数值上是不稳定的，因为它依赖于特征值 $\lambda_i$ 通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$.

另请参阅

torch.linalg.eigvals() 仅计算特征值。与 torch.linalg.eig() 不同，eigvals() 的梯度在数值上始终是稳定的。

对于 torch.linalg.eigh()，这是一个（更快的）函数，用于计算厄米矩阵和对称矩阵的特征值分解。

对于 torch.linalg.svd()，这是一个计算另一种谱分解的函数，适用于任何形状的矩阵。

对于 torch.linalg.qr()，这是一个（快得多）的分解，适用于任何形状的矩阵。

参数

A (Tensor) – 形状为 (*, n, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批次维度，由可对角化矩阵组成。

关键字参数

out (tuple, optional) – 包含两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认为 None。

返回

一个命名元组 (eigenvalues, eigenvectors)，对应于上面的 $\Lambda$ 和 $V$。

eigenvalues 和 eigenvectors 始终为复数值，即使 A 为实数。特征向量将由 eigenvectors 的列给出。

示例

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)