torch.linalg.eigh#

torch.linalg.eigh(A, UPLO='L', *, out=None)#

计算复数厄米矩阵或实数对称矩阵的特征值分解。

设 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，则复数厄米矩阵或实数对称矩阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的**特征值分解**定义为

A = Q \operatorname{diag}(\Lambda) Q^{\text{H}}\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{R}^n}

其中，当 $Q$ 为复数时， $Q^{\text{H}}$ 是共轭转置；当 $Q$ 为实数时，是转置。 $Q$ 在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的。

支持浮点 (float)、双精度浮点 (double)、复数浮点 (cfloat) 和复数双精度浮点 (cdouble) 数据类型。还支持矩阵批处理，如果 `A` 是一个矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

假设 A 是厄米矩阵（或对称矩阵），但内部不进行检查，而是

如果 UPLO= ‘L’（默认值），则在计算中只使用矩阵的下三角部分。
如果 UPLO= ‘U’，则只使用矩阵的上三角部分。

特征值按升序返回。

注意

当输入在 CUDA 设备上时，此函数会使该设备与 CPU 同步。

注意

实数对称矩阵或复数厄米矩阵的特征值始终是实数。

警告

对称矩阵的特征向量不是唯一的，也不是相对于 A 连续的。由于这种不唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种不唯一性是由于以下事实造成的：在实数情况下，将特征向量乘以 -1，或在复数情况下乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ ，会产生另一组有效的矩阵特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为这个量没有明确定义。在计算此函数的梯度时，会对复数输入进行此检查。因此，当输入是复数且在 CUDA 设备上时，此函数梯度的计算会将该设备与 CPU 同步。

警告

使用 eigenvectors 张量计算的梯度仅当 A 具有不同特征值时才有限。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近零，梯度将是数值不稳定的，因为它通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$ 依赖于特征值 $\lambda_i$ 。

警告

如果用户在 CUDA 12.1 update 1 之前的 CUDA 版本设备上，使用大型病态矩阵作为输入运行 eigh，可能会遇到 PyTorch 崩溃。更多详情请参考线性代数数值稳定性。如果出现这种情况，用户可以 (1) 调整矩阵输入使其病态性降低，或者 (2) 使用 torch.backends.cuda.preferred_linalg_library() 来尝试其他受支持的后端。

另请参阅

torch.linalg.eigvalsh() 只计算厄米矩阵的特征值。与 torch.linalg.eigh() 不同，eigvalsh() 的梯度始终是数值稳定的。

torch.linalg.cholesky() 用于厄米矩阵的不同分解。乔利斯基分解提供的信息较少，但计算速度比特征值分解快得多。

torch.linalg.eig() 用于计算不一定是厄米矩阵的方阵的特征值分解（速度较慢）。

torch.linalg.svd() 用于计算任意形状矩阵的更一般的 SVD 分解（速度较慢）。

torch.linalg.qr() 用于另一种（快得多）适用于一般矩阵的分解。

参数:

A (Tensor) – 形状为 (*, n, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批次维度，由对称或埃尔米特矩阵组成。
UPLO ('L', 'U', 可选) – 控制在计算中使用 A 的上三角部分还是下三角部分。默认值：‘L’。

关键字参数:

out (tuple, optional) – 包含两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认为 None。

返回:

一个命名元组 (eigenvalues, eigenvectors)，对应于上面的 $\Lambda$ 和 $Q$ 。

eigenvalues 将始终是实数值，即使 A 是复数。它也将按升序排列。

eigenvectors 将与 A 具有相同的 dtype，并且将包含特征向量作为其列。

示例：

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A = A + A.T.conj()  # creates a Hermitian matrix
>>> A
tensor([[2.9228+0.0000j, 0.2029-0.0862j],
        [0.2029+0.0862j, 0.3464+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> L
tensor([0.3277, 2.9415], dtype=torch.float64)
>>> Q
tensor([[-0.0846+-0.0000j, -0.9964+0.0000j],
        [ 0.9170+0.3898j, -0.0779-0.0331j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag(L.cdouble()) @ Q.T.conj(), A)
tensor(6.1062e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> A = A + A.mT  # creates a batch of symmetric matrices
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag_embed(L) @ Q.mH, A)
tensor(1.5423e-15, dtype=torch.float64)

torch.linalg.eigh#

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