torch.linalg.qr

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)

计算矩阵的QR分解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，则矩阵 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的满秩 QR 分解定义为

$$A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}$$

其中 $Q$ 是实数情况下的正交矩阵，复数情况下的酉矩阵，而 $R$ 是实对角线（即使在复数情况下也是如此）的上三角矩阵。

当 m > n（高矩阵）时，由于 R 是上三角矩阵，其最后 m - n 行均为零。在这种情况下，我们可以省略 Q 的最后 m - n 列，形成简化 QR 分解

$$A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}$$

当 n >= m（宽矩阵）时，简化 QR 分解与满秩 QR 分解一致。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型的输入。也支持矩阵的批处理，如果 A 是矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

参数 mode 在完整和约简 QR 分解之间进行选择。如果 A 的形状为 (*, m, n)，则 k = min(m, n)

• mode= ‘reduced’（默认）：分别返回形状为 (*, m, k) 和 (*, k, n) 的 (Q, R)。它始终是可微的。

• mode= ‘complete’：分别返回形状为 (*, m, m) 和 (*, m, n) 的 (Q, R)。对于 m <= n，它是可微的。

• mode= ‘r’：仅计算约简后的 R。返回 (Q, R)，其中 Q 为空，R 的形状为 (*, k, n)。它从不可微。

与 numpy.linalg.qr 的区别

• mode= ‘raw’ 未实现。

• 与 numpy.linalg.qr 不同，此函数始终返回两个张量的元组。当 mode= ‘r’ 时，Q 张量为空张量。

警告

R 对角线上的元素不一定为正。因此，返回的 QR 分解仅在 R 对角线的符号方面是唯一的。因此，不同的平台（如 NumPy）或不同设备上的输入可能会产生不同的有效分解。

警告

当 A 中的每个矩阵的前 k = min(m, n) 列线性无关时，QR 分解才有明确定义。如果未满足此条件，则不会抛出错误，但生成的 QR 可能不正确，其自动微分可能会失败或产生不正确的结果。

参数

• A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批处理维度。

• mode (str, optional) – ‘reduced’、‘complete’、‘r’ 中的一个。控制返回张量的形状。默认值：‘reduced’。

关键字参数

out (tuple, optional) – 输出两个张量的元组。如果为 None，则忽略。默认值：None。

返回

一个命名元组 (Q, R)。

示例

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)