torch.linalg.svd#

torch.linalg.svd(A, full_matrices=True, *, driver=None, out=None)#

Computes the singular value decomposition (SVD) of a matrix.

Letting $\mathbb{K}$ be $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ , the full SVD of a matrix $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ , if k = min(m,n), is defined as

A = U \operatorname{diag}(S) V^{\text{H}} \mathrlap{\qquad U \in \mathbb{K}^{m \times m}, S \in \mathbb{R}^k, V \in \mathbb{K}^{n \times n}}

其中 $\operatorname{diag}(S) \in \mathbb{K}^{m \times n}$ , $V^{\text{H}}$ 是当 $V$ 是复数时的共轭转置，当 $V$ 是实数时的转置。矩阵 $U$ , $V$ （因此 $V^{\text{H}}$ ）在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的。

当 m > n (resp. m < n) 时，我们可以去掉 U (resp. V) 的最后 m - n (resp. n - m) 列，以形成约简 SVD

A = U \operatorname{diag}(S) V^{\text{H}} \mathrlap{\qquad U \in \mathbb{K}^{m \times k}, S \in \mathbb{R}^k, V \in \mathbb{K}^{n \times k}}

其中 $\operatorname{diag}(S) \in \mathbb{K}^{k \times k}$ 。在这种情况下， $U$ 和 $V$ 也具有标准正交列。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。还支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

返回的分解是一个命名元组 (U, S, Vh)，对应于上面提到的 $U$ 、 $S$ 、 $V^{\text{H}}$ 。

奇异值按降序返回。

full_matrices 参数选择全 SVD（默认）或约简 SVD。

在 CUDA 上，可以使用 driver 关键字参数来选择用于计算 SVD 的算法。驱动程序的选择是在精度和速度之间的权衡。

如果 A 是良态的（其条件数不是太大），或者您不介意一些精度损失。
- 对于一般矩阵：‘gesvdj’（雅可比法）
- 如果 A 是高瘦矩阵或宽扁矩阵（m >> n 或 m << n）：‘gesvda’（近似法）
如果 A 不是良态的或精度很重要：‘gesvd’（基于 QR）

默认情况下（driver= None），我们调用 ‘gesvdj’，如果失败，则回退到 ‘gesvd’。

与 numpy.linalg.svd 的区别

与 numpy.linalg.svd 不同，此函数始终返回三个张量的元组，并且不支持 compute_uv 参数。请使用 torch.linalg.svdvals()（它仅计算奇异值），而不是 compute_uv=False。

注意

当 full_matrices= True 时，将忽略相对于 U[…, :, min(m, n):] 和 Vh[…, min(m, n):, :] 的梯度，因为这些向量可以是相应子空间的任意基。

警告

返回的张量 U 和 V 并非唯一，并且相对于 A 也不连续。由于这种非唯一性，不同的硬件和软件可能计算出不同的奇异向量。

这种非唯一性是由于将一对奇异向量 $u_k, v_k$ 乘以-1（实数情况）或乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ （复数情况）会产生另外两个有效的奇异向量，从而引起了此非唯一性。因此，损失函数不应依赖于此 $e^{i \phi}$ 的量，因为它没有定义好。在计算此函数梯度时，会对复数输入进行此检查。因此，当输入为复数且位于 CUDA 设备上时，此函数梯度的计算会使该设备与 CPU 同步。

警告

使用 U 或 Vh 计算的梯度仅在 A 没有重复奇异值时才是有限的。如果 A 是矩形的，此外，零也不能是其奇异值之一。此外，如果任何两个奇异值之间的距离接近零，梯度将是数值不稳定的，因为它取决于奇异值 $\sigma_i$ 通过 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \sigma_i^2 - \sigma_j^2}$ 的计算。在矩形情况下，当 A 具有较小的奇异值时，梯度也将是数值不稳定的，因为它还取决于 $\frac{1}{\sigma_i}$ 的计算。

另请参阅

torch.linalg.svdvals() 仅计算奇异值。与 torch.linalg.svd() 不同，svdvals() 的梯度始终是数值稳定的。

请参阅 torch.linalg.eig()，它计算矩阵的另一种谱分解。特征值分解仅适用于方阵。

请参阅 torch.linalg.eigh()，它是一个（更快的）用于计算厄米特矩阵和对称矩阵特征值分解的函数。

请参阅 torch.linalg.qr()，它实现了另一种（快得多）适用于通用矩阵的分解。

参数

A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批处理维度。
full_matrices (bool, optional) – 控制是计算全 SVD 还是约简 SVD，以及返回的张量 U 和 Vh 的形状。默认值：True。

关键字参数

driver (str, optional) – 要使用的 cuSOLVER 方法的名称。此关键字参数仅适用于 CUDA 输入。可用选项为：None、gesvd、gesvdj 和 gesvda。默认值：None。
out (tuple, optional) – 三个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。

返回

命名元组 (U, S, Vh)，对应于上面提到的 $U$ 、 $S$ 、 $V^{\text{H}}$ 。

S 始终是实数值，即使 A 是复数。它也将按降序排序。

U 和 Vh 将具有与 A 相同的 dtype。左/右奇异向量将由 U 的列和 Vh 的行分别给出。

示例

>>> A = torch.randn(5, 3)
>>> U, S, Vh = torch.linalg.svd(A, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
(torch.Size([5, 3]), torch.Size([3]), torch.Size([3, 3]))
>>> torch.dist(A, U @ torch.diag(S) @ Vh)
tensor(1.0486e-06)

>>> U, S, Vh = torch.linalg.svd(A)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
(torch.Size([5, 5]), torch.Size([3]), torch.Size([3, 3]))
>>> torch.dist(A, U[:, :3] @ torch.diag(S) @ Vh)
tensor(1.0486e-06)

>>> A = torch.randn(7, 5, 3)
>>> U, S, Vh = torch.linalg.svd(A, full_matrices=False)
>>> torch.dist(A, U @ torch.diag_embed(S) @ Vh)
tensor(3.0957e-06)

torch.linalg.svd#

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