torch.nn.utils.parametrizations.orthogonal

torch.nn.utils.parametrizations.orthogonal(module, name='weight', orthogonal_map=None, *, use_trivialization=True)

将一个矩阵或一批矩阵参数化为正交或酉矩阵。

令 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，参数化的矩阵 $Q \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 被称为正交，满足：

$$\begin{align*} Q^{\text{H}}Q &= \mathrm{I}_n \mathrlap{\qquad \text{if }m \geq n}\\ QQ^{\text{H}} &= \mathrm{I}_m \mathrlap{\qquad \text{if }m < n} \end{align*}$$

其中 $Q^{\text{H}}$ 是 $Q$ 的共轭转置（当 $Q$ 是复数时）或转置（当 $Q$ 是实数时），而 $\mathrm{I}_n$ 是 n 维单位矩阵。简单来说，当 $m \geq n$ 时，$Q$ 的列是标准正交的；否则，行是标准正交的。

如果张量具有超过两个维度，我们将其视为一批形状为 (…, m, n) 的矩阵。

矩阵 $Q$ 可以通过三种不同的 orthogonal_map 来参数化，这三种方式取决于原始张量：

• "matrix_exp"/"cayley"： matrix_exp() 的 $Q = \exp(A)$ 和 Cayley 映射 $Q = (\mathrm{I}_n + A/2)(\mathrm{I}_n - A/2)^{-1}$ 应用于斜对称矩阵 $A$ 以得到一个正交矩阵。

• "householder"： 计算 Householder 反射的乘积（householder_product()）。

"matrix_exp"/"cayley" 通常比 "householder" 使参数化权重收敛更快，但对于非常薄或非常宽的矩阵计算速度较慢。

如果 use_trivialization=True（默认值），则该参数化实现了“动态平凡化框架”，其中一个额外的矩阵 $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 存储在 module.parametrizations.weight[0].base 下。这有助于参数化层的收敛，但会增加一些额外的内存使用。请参阅 Trivializations for Gradient-Based Optimization on Manifolds。

$Q$ 的初始值：如果原始张量未参数化且 use_trivialization=True（默认值），则 $Q$ 的初始值是原始张量的值（如果它是正交的（或复数情况下的酉的）），否则它通过 QR 分解进行正交化（参见 torch.linalg.qr()）。当它未参数化且 orthogonal_map="householder" 即使 use_trivialization=False 时，情况也是如此。否则，初始值是应用于原始张量的所有已注册参数化组合的结果。

注意

此函数使用 register_parametrization() 中的参数化功能来实现。

参数

• module (nn.Module) – 要注册参数化的模块。

• name (str, optional) – 要使其正交的张量的名称。默认为 "weight"。

• orthogonal_map (str, optional) – 以下之一： "matrix_exp"、 "cayley"、 "householder"。默认为：当矩阵是方阵或复数时为 "matrix_exp"，否则为 "householder"。

• use_trivialization (bool, optional) – 是否使用动态平凡化框架。默认为 True。

返回

已向指定权重注册了正交参数化的原始模块

返回类型

模块

示例

>>> orth_linear = orthogonal(nn.Linear(20, 40))
>>> orth_linear
ParametrizedLinear(
in_features=20, out_features=40, bias=True
(parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
    (0): _Orthogonal()
    )
)
)
>>> Q = orth_linear.weight
>>> torch.dist(Q.T @ Q, torch.eye(20))
tensor(4.9332e-07)